informatique

Maple - TD no 1 (Corrigé)

vendredi 28 décembre 2018

Maple - TD no 1 (Corrigé)

Exercice 1 -
1. Somme des n premiers entiers : somme:=proc(n) > local res, i: > res:=0: > for i from 1 to n do > res:=res+i > od: > res: > end;
2. On peut par exemple écrire : prod:=proc(n) > local res, i: > res:=1: > for i from 3 to n by 3 do > res:=res*i > od: > res: > end:
3. On doit cette fois utiliser une boucle while : p2:=proc(n) > local i: > i:=0: > while 2^i <= n do > i:=i+1 > od: > 2^i: > end: 1
Exercice 2 -
1. Calcul itératif de la factorielle : fact1:=proc(n) > local res, i: > res:=1: > for i from 1 to n do > res:=res*i > od: > res: > end: On constate que l'on a besoin d'une unique variable intermédiaire (res), et non pas de n variables intermédiaires ! Inutile de remplacer > res:=1: > for i from 1 to n do > res:=res*i > od: > res: par > res[0]:=1: > for i from 1 to n do > res[i]:=res[i-1]*i > od: > res[n]:
2. On appelle récursivement la procédure que l'on dé nit. Il ne faut pas oublier le cas d'arrêt lorsque n = 0. fact2:=proc(n) > local res: > if n=0 then > res:=1 > else > res:=fact2(n-1)*n > fi: > res: > end:
Exercice 3 -
On suit le comportement de la procédure décrit dans l'énoncé : power2:=proc(n) > local res: > if n=0 then > res:=1 > elif irem(n,2)=0 then > res:=(power2(n/2))^2 2 > else > res:=2*(power2((n-1)/2))^2 > fi: > res: > end:
Exercice 4 -
1. La procédure naïve parcourt la séquence en mémorisant à chaque étape : le minimum des distances de s[i] à p pour les i déjà visités (dans la variable min) ; l'indice i pour lequel ce minimum est atteint (dans la variable res). On peut par exemple initialiser min et res pour i = 1. proche1:=proc(s,p) > local n, min, res, i, aux: > n:=nops(s): > min:=abs(s[1]-p): > res:=1: > for i from 2 to n do > aux:=abs(s[i]-p); > if aux < min then > min:=aux: > res:=i > fi > od: > s[res]: > end: On calcule la longueur de s, ce qui peut se faire en O(n). On fait un nombre constant d'opérations pour chaque i allant de 2 à n, ce qui est également en O(n). Cet algorithme est donc linéaire.
2. On suit l'algorithme donné dans l'énoncé : proche2:=proc(s,p,n) > local res, milieu, a, b, i, s1, s2: > if n = 1 then > res:=s[1] > else > milieu:=iquo(n,2): > a:=s[milieu]: > b:=s[milieu+1]: > if a > p then > s1:=[seq(s[i],i=1..milieu)]: > res:=proche2(s1,p,milieu) > elif b < p then > s2:=[seq(s[i],i=milieu+1..n)]: > res:=proche2(s2,p,n-milieu) > elif p-a > b-p then > res:=b 3 > else > res:=a > fi > fi: > res: > end: Notons C(n) = C 0 (q) la complexité pour une liste de longueur n = 2q . On a la formule de récurrence suivante : C(1) = 1 ⇔ C 0 (0) = 1 C(n) 6 C(n/2) + 1 si n > 2 ⇔ C 0 (q) 6 C 0 (q − 1) + 1 si q > 1 Si n > 2, on a uniquement une borne supérieure : en e et, dans le cas où a < p < b, la procédure s'arrête immédiatement (pas d'appel récursif). La suite (C 0 (q))q∈N est inférieure ou égale à une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1, donc pour tout q ∈ N : C 0 (q) 6 q + 1 Or, pour tout n ∈ N puissance de 2 : C(n) = C 0 (log(n)) Donc, pour tout n ∈ N puissance de 2 : C(n) 6 log(n) + 1 Cet algorithme est donc en O(log(n)).

Cour MATLAB

dimanche 6 mai 2018

Généralités sur matlab

2.1 Lancement de Matlab

L’interface Matlab se compose d’une fenêtre principale divisée en quatre sous-fenêtres. A

gauche, il y a la fenêtre Current Folder qui gère l’emplacement des fichiers. Celui-ci sera utile

pour le travail avec les m-files. Au centre, il y a une grande fenêtre : Command Window. La

Command Window est la fenêtre d’interaction avec Matlab. En haut à droite, il y a la fenêtre

Workspace qui permet de gérer les variables utilisées. Nous y reviendrons au paragraphe

2.3. En bas à droite la fenêtre Command History indique les dernières commandes

effectuées.

Figure 1- Lancement de MATLAB

Le symbole [>>] indique à l’utilisateur où il faut rentrer la commande. On ne peut pas «

revenir en arrière », c’est-à-dire, il ne faut pas essayer de placer le curseur sur une ligne audessus

du dernier [>>]. Pour taper une autre commande on le fait à la suite.

>> 2+3

ans =

>> 3*5

ans =

Si on rentre des commandes erronées, Matlab nous l’indique par un message d’erreur :

>> 2*

Error: Expression or statement is incomplete or incorrect.

>> ax

Undefined function or variable 'ax'.

Les touches [↑] et [↓] permettent de naviguer parmi les dernières commandes effectuées,

ce qui peut être utile si l’on commet une erreur et qu’on veut éviter de taper à nouveau

toute la commande.

2.2 Commandes et calculs de base

Matlab possède de nombreuses fonctions prédéfinies utiles en mathématiques que nous

allons étudier au cours de ces travaux pratiques.

>> pi

ans =

3.1416

>> cos(pi/3)

ans =

0.5000

>> log(1.5)

ans =

0.4055

>> j^2

ans =

-1

Il peut parfois être utile de stocker une valeur dans une variable pour l’utiliser plus tard.

L’affectation d’une variable en Matlab se fait au moyen du signe [=]. Le nom d’une variable

doit commencer par une lettre (majuscule ou minuscule, sans accent) puis peut contenir des

lettres (même remarque), des chiffres et des caractères soulignés [_]. Le nom peut contenir

au maximum 31 caractères. La valeur d’une variable peut être un nombre, une chaîne de

caractères ou un tableau (voir la section 3). Contrairement au C++ ou au fortran, Matlab

n’est pas « typé ». Autrement dit, une variable contenant un entier peut contenir plus tard

une chaîne de caractères ou un tableau. Précisons que Matlab est « case-sensitive », c’est-à-

dire qu’il fait la distinction entre majuscules et minuscules.

>> A=21

A =

>> a=12.24

a =

12.2400

>> A='Bonjour'

A =

Bonjour

On peut évidement faire des calculs avec des variables. Le résultat d’un calcul est, par

défaut, stocké dans une variable nommée ans. Celle-ci peut être changée pour n’importe

quelle autre variable. Par défaut, Matlab affiche le résultat de la dernière opération. Cet

affichage peut être supprimé en terminant votre commande par la touche [ ;]. Plusieurs

commandes peuvent être rentrées sur une même ligne en les séparant soit par [,] soit par [

;].

>> x=3;y=4;

>> z=x^2+y^2

z =

Pour une liste complète des opérations mathématiques que l’on peut faire dans Matlab voir

le paragraphe 3.3.

2.3 Gestion des variables

Dès que nous commençons à avoir un certain nombre de variables, on peut rapidement se

perdre. Si l’on tape le nom d’une variable, Matlab renvoie la valeur de celle-ci. Mais

comment savoir quelle variable a été utilisée ? Pour se retrouver, Matlab propose plusieurs

solutions. La commande who permet de lister simplement les variables utilisées, alors que

whos donne des informations détaillées sur toutes les variables.

>> who

Your variables are:

A a ans x y z

>> whos

Name Size Bytes Class Attributes

A 1x7 14 char

a 1x1 8 double

ans 1x1 8 double

x 1x1 8 double

y 1x1 8 double

z 1x1 8 double

L’onglet Workspace donne une alternative graphique à la commande whos. En double

cliquant sur une variable on peut voir sa valeur et même la modifier. Pour effacer

complètement une variable, il suffit de rentrer la commande clear suivie du nom de la

variable. Pour tout effacer, clear all.

2.4 Historique des commandes

Matlab garde en mémoire les dernières commandes effectuées. Elles sont visibles dans

l’onglet Command History. On peut également y accéder directement dans la Command

Window au moyen des touches [↑] et [↓]. Ceci est particulièrement utile pour répéter la

dernière commande.

2.5 Aide

Matlab possède un grand nombre de fonctions et commandes. On ne pourra pas toutes les

traiter en détail. Afin d’obtenir de l’information (nombre de paramètres d’une fonction,

valeur de retour, etc), il suffit de rentrer help nom_de_la_commande.

La commande lookfor est très utile. Elle permet de chercher les fonctions par mots clefs.

Plus précisément, lookfor XYZ renvoie toutes les fonctions qui contiennent XYZ dans la

première ligne de leur descriptif. Nous y reviendrons au paragraphe sur m-files. Si vous êtes

perdu, la commande help help pourra vous aider...

2.6 Sauvegarde

 Le Workspace : On peut sauver l’état de la session en cours dans un fichier .mat. Pour

cela, dans la barre d’outils, dans l’onglet Variable cliquer sur Save Workspace, et vous

choisissez l’emplacement et le nom de votre fichier. Matlab sauvegarde ainsi le nom et la

valeur de chacune des variables. La prochaine fois que vous utilisez Matlab, au moyen de

l’onglet File /Open vous retrouvez le Workspace dans l’état dans lequel vous l’avez laissé.

 Les m-files : Il s’agit d’un fichier dans lequel on regroupe des commandes. C’est très utile

pour aborder des pr

3. Vecteurs et matrices

La structure de données de Matlab est le tableau ; même un nombre est considéré comme

une matrice 1 × 1. Toutes les fonctions et opérations relatives aux tableaux sont très

optimisées et sont à utiliser aussi souvent que possible.

3.1 Création

Un tableau est délimité par des crochets. On sépare les colonnes par des espaces et les

lignes par des points-virgules.

>> A=[1 2 3 ; 4 5 6]

A =

1 2 3

4 5 6

>> B=[1; 2; 3]

B =

Les tableaux qui n’ont qu’une seule ligne sont appelés des vecteurs lignes ou des listes ; ceux

qui n’ont qu’une seule colonne sont appelés des vecteurs colonnes ou simplement des

vecteurs. Si le nombre d’éléments dans chaque ligne (ou colonne) n’est pas le même, Matlab

signale une erreur.

>> A=[1 2 3; 4 5]

Error using vertcat

Dimensions of matrices being concatenated are not consistent.

 Matlab propose des commandes pour créer certaines matrices particulières très

simplement. Pour plus d’information, lire le help de chaque fonction.

Commande Description

ones(n,m) Matrice de taille n × m ne contenant que des 1.

zeros(n,m) Matrice de taille n × m ne contenant que des 0.

eye(n,m) Matrice de taille n × m contenant des 1 sur la

première diagonale et des 0 ailleurs.

diag(v) Matrice diagonale où les éléments de la

diagonale sont les composantes du vecteur v.

rand(n,m) Matrice de taille n × m contenant des nombres

aléatoires

Tableau 1 : Commandes pour créer des matrices

 [a:p:b] : Matlab dispose également de moyens très simples pour créer des listes. La

commande [a:p:b] crée une liste dont les éléments sont

a, a + p, a + 2p, . . . , a + np,

où n ∈N, a+np ≤ b < a+(n+1)p

Le cas particulier [a:b] est un raccourci pour [a:1:b]. Si les conditions initiales sont erronées,

Matlab renvoie un message d’erreur.

Remarque : Il n’y a pas de différence entre les commandes [a:p:b], (a:p:b) et a:p:b.

>> x=[1:2:10]

x =

1 3 5 7 9

>> y=[-5:0]

y =

-5 -4 -3 -2 -1 0

>> z=[10:2:-10]

z =

Empty matrix: 1-by-0

 linspace : Un autre cas particulier de [a:p:b] est la fonction linspace(a,b,n). Celle-ci crée

une liste de n éléments uniformément répartis entre a et b. Autrement dit,

linspace(a,b,n) est la même chose que [a: b−a/n−1:b].

 logspace : Il est parfois utile de travailler avec des échelles logarithmiques ; pour cela, la

commande logspace(x1,x2,n) crée une liste de n points répartis logarithmiquement

uniformément entre 10x1 et 10x2

 Une dernière méthode pour créer des tableaux est la concaténation. Si A et B sont deux

tableaux, alors [A B], ou [A,B] est le tableau obtenu en collant B à la droite de A, et [A ;B]

est le tableau obtenu en collant B au-dessous de A. Comme d’habitude, il faut faire

attention aux tailles de A et de B.

>> A=[1,3,5], B=[2,4,6], C=[1,2;3,4]

A =

1 3 5

B =

2 4 6

C =

1 2

3 4

MATLAB & SIMULINK

>> A(2,:)

ans =

5 6 7 8

>> A(:,3)

ans =

>> A([1 3 5])

ans =

1 2 3

>> A([1; 3; 5])

ans =

>> A([1 3;4 6])

ans =

1 2

6 7

Pour modifier les éléments d’une matrice, on utilise les mêmes commandes que ci-dessus.

On ajoute à la commande le signe [=] et la nouvelle valeur.

>> A(2,3)=0

A =

1 2 3 4

5 6 0 8

>> A([1 3 5])=[-1 -1 -1]

A =

-1 -1 -1 4

5 6 0 8

>> A(:,4)=[10 20]

A =

-1 -1 -1 10

5 6 0 20

Remarquons cependant que dans ce cas on est autorisé à dépasser la taille de la matrice

initiale. Matlab crée automatiquement une nouvelle matrice en ajoutant aux anciennes

valeurs les nouvelles. Si rien n’est spécifié, il remplit avec des 0.

>> B=[1 2;3 4]

B =

1 2

3 4

>> B(2,4)=99

B =

1 2 0 0

3 4 0 99

4. Opérations avec les matrices

4.1 Opérations de bases

Matlab permet de faire certaines opérations avec des matrices. Dans ce qui suit, A et B sont

des tableaux et c est un scalaire.

Commande Description

A+B Addition terme à terme ; A et B doivent avoir le même

format.

A+c = c+A Addition de c aux éléments de A.

A-B

Soustraction terme à terme ; A et B doivent avoir le

même format.

A-c Soustraction de c aux éléments de A.

c-A Tableau dont les éléments sont c − aij .

A*B Produit matriciel standard ; nb. col. A doit être le

même que

A*c = c*A Multiplication de c aux éléments de A.

A.*B Multiplication terme à terme ; A et B doivent avoir le

même format.

Aˆn (n ∈ +)

A * A * . . . * A (n fois) ; A doit être carrée.

Aˆn (n ∈ -)

-1

* A-1

* . . . * A-1

(|n| fois) ; A doit être inversible.

A.ˆB Tableau dont les éléments sont

A’ Transposition et conjugaison.

A.’ Transposition ; A.’ = A’ dans le cas où A est réelle.

B/A

Le résultat est un tableau X tel que XA = B. Si A est

inversible, alors X = BA-1

; nb. col. A doit être le même

que nb. col. B.

A\B

Le résultat est un tableau X tel que AX = B. Si A est

inversible, alors X = A

−1

B ; nb. lign. A doit être le même

que nb. lign. B.

A./B Division terme à terme des éléments de A par ceux de

B ; A et B doivent avoir le même format.

A.\B

Division terme à terme des éléments de B par ceux de

A ; A et B doivent avoir le même format.

A/c Division des éléments de A par c.

Tableau 3 : Opérations avec des matrices

Précisons que Matlab ne renvoie pas un message d’erreur lors d’une division par 0, mais

donne le résultat Inf. Attention néanmoins à ne pas travailler avec Inf comme avec un

nombre.

>> A=[1 2 3; 5 0 0; 4 0 7]

A =

1 2 3

5 0 0

4 0 7

>> B=[-1 -2 -3; -5 0 0; -4 0 -7]

B =

-1 -2 -3

-5 0 0

-4 0 -7

>> A+B

ans =

0 0 0

>> A*B

ans =

-23 -2 -24

-5 -10 -15

-32 -8 -61

>> A.*B

ans =

-1 -4 -9

-25 0 0

-16 0 -49

>> A^2

ans =

23 2 24

5 10 15

32 8 61

>> A/B

ans =

-1 0 0

0 -1 0

0 0 -1

Important. Pour la résolution de systèmes d’équations, utilisez toujours les commandes B/A

et A\B. N’inversez JAMAIS une matrice !

4.2 Fonctions sur les matrices

Etant donnée une matrice A, il y a un certain nombre de choses que l’on peut calculer en

rapport avec A. Nous présentons ici quelques fonctions définies dans Matlab prenant

comme paramètre des tableaux.

Commande Description

det(A) Renvoie le déterminant de A ; celle-ci doit être

carrée.

trace(A) Renvoie la trace de A.

rank(A) Renvoie le rang de A

null(A) Renvoie une base du noyau de A ; l’argument

supplémentaire ’r’ donne une « meilleure » base

diag(A) Renvoie la première diagonale de A.

norm(v)

Renvoie la norme euclidienne de v ; v est un

vecteur. Il est aussi possible de calculer d’autres

normes ;

mean(A) Renvoie une liste contenant la moyenne des

éléments de chaque colonne.

sum(A) Renvoie une liste contenant la somme des

éléments de chaque colonne.

prod(A) Renvoie une liste contenant le produit des

éléments de chaque colonne.

max(A) Renvoie une liste contenant la valeur maximale

chaque colonne.

min(A) Renvoie une liste contenant la valeur minimale de

chaque colonne.

length(A) Renvoie le maximum entre le nombre de lignes et

de colonnes ;

Tableau 4 : Fonctions sur des matrices

Finalement, on précise que toutes les fonctions mathématiques classiques (cos, sin, log, exp,

etc) s’appliquent également aux tableaux. Le résultat est un tableau où l’on a appliqué terme

à terme la fonction en question.

>>teta=[0:pi/4:pi]

teta =

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

>> sin(teta)

ans =

0 0.7071 1.0000 0.7071 0.0000

guide pour MATLAB

Installation et emplacement

Si vous avez l'intention de lancer MATLAB sur un PC, en particulier la version "Student", il est
tout à fait possible que vous devrez l'installer vous-même. Vous pouvez facilement accomplir
ceci en utilisant les CD du produit. Suivez les instructions d'installation comme vous le feriez
avec nouveau logiciel que vous installez. À un moment donné de l'installation, vous pouvez
On vous demandera quelles boîtes à outils vous souhaitez inclure dans votre installation. À moins que vous
avoir de graves problèmes d'espace, nous vous suggérons d'installer tout ce qui semble
vous intéressez ou que vous pensez que vous pourriez utiliser à un moment donné dans le futur. nous
demandez seulement que vous soyez sûr d'inclure le Symbolic Math Toolbox parmi ceux
vous installez. Si possible, nous vous encourageons également à installer SIMULINK, qui est
décrit au chapitre 8.
En fonction de votre version, on vous demandera peut-être si vous voulez
spécifiez certains emplacements de répertoire (c'est-à-dire, dossier) associés à Microsoft Word.
Si vous le faites, vous serez en mesure d'exécuter l'interface M-book décrite dans
Chapitre 6. Si votre ordinateur est équipé de Microsoft Word, nous vous recommandons fortement de
inclure ces emplacements de répertoire pendant l'installation.
Si vous autorisez les paramètres par défaut lors de l'installation, MATLAB
probablement être trouvé dans un répertoire avec un nom tel que mathas matlabR12 ou matlab SR12
ou MATLAB - vous devrez peut-être chasser pour le trouver. Le sous-répertoire
bin \ win32, ou peut-être le sous-répertoire bin, contiendra le fichier exécutable
matlab.exe qui exécute le programme, tandis que le répertoire de travail actuel
probablement être réglé sur matlabR12 \ work

Démarrer MATLAB

Vous démarrez MATLAB comme vous le feriez pour n'importe quelle autre application logicielle. Sur un PC vous

accédez-y via le menu Démarrer, dans Programmes sous un dossier tel que MatlabR12

ou étudiant MATLAB. Alternativement, vous pouvez avoir une icône mise en place qui permet

vous pouvez démarrer MATLAB avec un simple double-clic. Sur une machine UNIX, généralement

il suffit de taper matlab dans une fenêtre de terminal, mais vous pouvez d'abord

Vous devez trouver le répertoire matlab/bin et l'ajouter à votre chemin. Ou vous pouvez

avoir une icône ou un bouton spécial sur votre bureau qui réalise la tâche

Cependant, vous démarrez MATLAB, vous verrez brièvement une fenêtre qui affiche

le logo MATLAB ainsi que des informations sur le produit MATLAB, puis

La fenêtre MATLABDesktop va être lancée. Cette fenêtre contiendra une barre de titre, un

barre de menus, une barre d'outils et cinq fenêtres intégrées, dont deux sont cachées. le

La fenêtre la plus grande et la plus importante est la fenêtre de commande sur la droite. nous

ira plus en détail dans le chapitre 3 sur l'utilisation et la manipulation de l'autre

quatre fenêtres: la zone de lancement, le navigateur de l'espace de travail, l'historique des commandes

fenêtre et le navigateur du répertoire actuel. Pour l'instant nous nous concentrons sur le

Fenêtre de commande pour commencer à émettre des commandes MATLAB aussi rapidement

possible. En haut de la fenêtre de commande, vous pouvez voir quelques général

informations sur MATLAB, peut-être quelques instructions spéciales pour obtenir

commencé ou accéder à l'aide, mais le plus important de tous, une ligne qui contient un

rapide. L'invite sera probablement un signe double (>> ou?). Si la commande

La fenêtre est "active", sa barre de titre sera sombre, et l'invite sera suivie par

un curseur (une ligne verticale ou une boîte, clignotant habituellement). C'est l'endroit où vous

entrera vos commandes MATLAB . Si la fenêtre de commande

n'est pas actif, il suffit de cliquer n'importe où. La figure 1-1 contient un exemple de

MATLAB Desktop nouvellement lancé.

MATLAB Windows

Nous avons déjà décrit la fenêtre de commande MATLAB et l'aide

Navigateur, et ont mentionné en passant la fenêtre Historique des commandes, Current

Navigateur de répertoire, navigateur Workspace et LaunchPad. Ceux-ci et plusieurs

d'autres fenêtres que vous rencontrerez pendant que vous travaillez avec MATLAB, permettra

vous: contrôler les fichiers et dossiers auxquels vous et MATLAB aurez besoin d'accéder; écrire

et éditez les petits programmes MATLAB (c'est-à-dire les fichiers M) que vous utiliserez pour

exécuter MATLAB plus efficacement; garder une trace des variables et des fonctions

vous définissez comme vous utilisez MATLAB; et concevoir des modèles graphiques pour résoudre des problèmes

et simuler des processus. Certaines de ces fenêtres lancent séparément, et

certains sont intégrés dans le bureau. Vous pouvez ancrer certains de ceux qui lancent

séparément à l'intérieur du Bureau (via le bouton de menu View: Dock), ou vous

pouvez séparer les fenêtres à l'intérieur de votre bureau MATLAB sur votre ordinateur

Bureau en cliquant sur la flèche courbe dans le coin supérieur droit.

Ces caractéristiques sont décrites plus en détail au chapitre 3. Pour l'instant, nous

Je veux attirer votre attention sur l'autre type de fenêtre que vous rencontrerez.

à savoir les fenêtres graphiques. La plupart des commandes que vous émettez

générer des graphiques ou des images. Ceux-ci apparaîtront dans une fenêtre séparée. MATLAB

la documentation fait référence à ces fenêtres de chiffres. Dans ce livre, nous devonsappelle aussi les fenêtres graphiques. Au chapitre 5, nous allons vous apprendre à générer

et manipuler les fenêtres graphiques MATLAB plus efficacement

Mettre fin à une session

Le moyen le plus simple de conclure une session MATLAB est de taper quit à l'invite.

Vous pouvez également cliquer sur le symbole spécial qui ferme vos fenêtres (généralement un ×

dans le coin supérieur gauche ou droit). L'un ou l'autre peut ou peut ne pas tout fermer

les autres fenêtres MATLAB (dont nous avons parlé dans la dernière section)

sont ouverts. Vous devrez peut-être les fermer séparément. En effet, c'est notre expérience

cela laissant des fenêtres générées par MATLAB autour après la fermeture du MATLAB

Le bureau peut être dangereux pour votre système d'exploitation. Encore une autre façon de sortir

est d'utiliser l'option Quitter MATLAB dans le menu Fichier du bureau. Avant

vous quittez MATLAB, vous devez être sûr de sauvegarder toutes les variables, imprimer des graphiques

ou d'autres fichiers dont vous avez besoin, et en général nettoyer après vous. Quelques stratégies